循环群和子群的区别是什么?

循环群是由一个元素生成的群，所有元素都是这个元素的幂次；子群是群的子集，对群的运算封闭且包含单位元和逆元。

区别

循环群：循环群的结构由单个元素决定，比如整数加法群由1生成，元素无限或有限（如模n的剩余类群）。它的阶等于生成元的阶，元素可表示为a^k，k为整数。循环群是交换群，子群也是循环群。

子群：子群是群的子集，满足群的三个条件：封闭性、单位元、逆元。它不一定是循环群，比如四元数群的子群可能是非循环的。子群的阶必须整除群的阶（拉格朗日定理），但子群的结构取决于原群，不一定由单个元素生成。