简述什么是群循环群?

群循环群是一种特殊的数学结构，它满足群的性质，且所有元素都能通过一个元素的连续运算生成。比如整数加法群中，数字1可以生成所有整数；模n的剩余类群中，1也能生成所有剩余类。循环群的生成元可能不止一个，比如模6的剩余类群中，5也能生成所有元素。循环群的阶数可以是有限的，也可以是无限的。

循环群的特点

循环群的子群也是循环群，且子群的阶数一定是原群阶数的约数。比如6阶循环群的子群只能是1阶、2阶、3阶或6阶。循环群的结构非常简单，完全由生成元和阶数决定。两个同阶的循环群一定同构，比如模3和模7的剩余类群都是3阶循环群，结构相同。循环群在密码学和编码理论中有广泛应用。