正定与半正定的区别?

正定矩阵所有特征值都大于0，半正定矩阵特征值大于或等于0。正定二次型恒为正，半正定二次型非负。正定矩阵可逆，半正定矩阵可能不可逆。正定矩阵行列式为正，半正定矩阵行列式非负。

区别

正定矩阵：所有特征值严格大于0，二次型表达式对任意非零向量结果都为正数。矩阵的各阶主子式全部为正，行列式值大于0。这类矩阵在优化问题中保证解的唯一性，如二次函数有唯一最小值。常见于物理系统的稳定性分析，确保系统状态始终偏离平衡点。

半正定矩阵：特征值大于或等于0，二次型表达式对任意向量结果非负。存在至少一个特征值为0时，矩阵不可逆，行列式值为0。二次函数可能有多个最小值或最小值不唯一。用于描述某些约束条件下的优化问题，如资源分配中的边界情况。出现在统计学中协方差矩阵，允许变量间完全相关。