正定二次型是标准二次型吗?

正定二次型不一定是标准二次型。标准二次型指平方项系数为1且无交叉项的形式，如x²+y²+z²。正定二次型要求对所有非零向量x，xᵀAx>0，但系数可以不为1，如2x²+3y²+4z²。例如，x²+2xy+y²是正定的，但不是标准的，因为它有交叉项xy。通过配方法或合同变换，正定二次型可以转化为标准二次型，但原形式未必标准。

转化方法

正定二次型可通过合同变换化为标准二次型。具体步骤包括：对二次型配方，消去交叉项；或用正交矩阵对角化。例如，2x²+4xy+2y²配方后得2(x+y)²，再令u=x+y，v=y，即化为2u²。标准二次型系数均为正，因原矩阵特征值全正。转化后二次型保持正定性，但形式更简单。