泛函分析基础是什么?

泛函分析是研究函数空间和算子的数学分支，结合线性代数与拓扑学。它将函数视为向量，研究无限维空间中的性质。核心概念包括巴拿赫空间、希尔伯特空间和有界线性算子。实数序列、函数序列、积分方程都是研究对象。泛函分析为微分方程、量子力学提供工具，也是优化理论的基础。

核心工具

泛函分析依赖范数、内积和收敛性。范数衡量函数大小，内积定义角度，收敛性保证极限存在。不动点定理证明解的存在性，谱理论分析算子特征值。弱收敛、强收敛区分极限方式，对处理无穷维问题至关重要。这些工具帮助解决偏微分方程和变分问题。