循环群的子群是正规子群?

循环群的子群一定是正规子群。循环群由一个元素生成，子群也是由某个幂次生成。群中任意元素与子群元素相乘，结果仍在子群中。因为子群元素都是生成元素的幂，相乘后相当于指数相加，仍在子群范围内。循环群的这种结构保证了子群的正规性。

正规子群的判定

正规子群要求群中所有元素都能与子群交换。循环群的子群满足这个条件，因为群运算本质是指数相加。子群元素与群中元素相乘，相当于平移指数，不会脱离子群。例如，循环群Z12的子群{0,3,6,9}，无论与哪个元素相乘，结果仍在子群中。这说明子群在群中是"对称"的。