循环群是有限群吗?

循环群可以是有限群也可以是无限群。例如整数加法群是无限循环群，模n的剩余类加法群是有限循环群。循环群的阶等于生成元的阶，有限循环群的阶等于生成元的周期。循环群的结构完全由生成元决定，生成元的阶决定了群的阶。

循环群的性质

循环群的子群也是循环群，有限循环群的子群个数等于生成元的阶数的约数数。循环群是交换群，任意两个元素的运算结果与顺序无关。循环群的生成元可能不止一个，有限循环群中生成元的个数等于欧拉函数值。循环群的结构简单，是群论中最基础的一类群。