摆线一拱的面积是什么?

摆线一拱的面积等于生成圆面积的三倍。摆线是圆滚动时圆周上一点的运动轨迹，一拱对应圆滚动一周。圆的半径为r时，面积是πr²，摆线一拱面积就是3πr²。这个结果可以用积分计算，也可以通过几何方法推导。摆线在数学和物理中有广泛应用，比如最速降线问题。

摆线的几何特性

摆线一拱的长度是圆周长的四倍，即8r。摆线在最高点处切线水平，最低点处切线垂直。摆线围成的区域被称为摆线拱，其重心位于圆心正下方4r/3处。摆线还具有等时性，即小球沿摆线滑下时间相同，与起点位置无关。这个性质在钟表设计中有重要应用。