交换群的中心等于交换群吗?

交换群的中心不一定等于交换群本身。中心是指与群中所有元素都可交换的元素的集合。如果群的每个元素都与其他元素可交换，那么中心就是整个群。例如，所有阿贝尔群的中心就是群本身。但对于非阿贝尔群，中心可能只包含单位元，也可能是一个真子群。例如，对称群S3的中心仅含单位元，而四元数群的中心是{1,-1}。

中心的性质

中心总是交换群，且是原群的一个正规子群。中心的元素与群中所有元素可交换，因此中心的运算满足交换律。中心的阶数可以大于1，也可以等于1。如果中心等于整个群，说明群是交换群；如果中心只有单位元，说明群的非交换性很强。例如，二面体群D4的中心是{1,r^2}，其中r是旋转180度的元素。